如图，矩形$ABCD$的两边长$AB=18\:cm$，$AD=4\:cm$，点$P$、$Q$分别从$A$、$B$同时出发，$P$在边$AB$上沿$AB$方向以每秒$2\:cm$的速度匀速运动，$Q$在边$BC$上沿$BC$方向以每秒$1\:cm$的速度匀速运动．设运动时间为$x($秒$)$，$\triangle PBQ$的面积为$y(cm^{2}).$

$(1)$求$y$关于$x$的函数关系式，并写出$x$的取值范围；

$(2)$求$\triangle PBQ$的面积的最大值．