如图， 正方形$ABCD$和正方形$EFGH$的重叠部分是长方形$ENDM.$四边形$HMDK$和四边形$DNFL$都是正方形，设它们的边长分别为$a$，$b.$

$(1)$填空：$(a+b)^{2}=a^{2}+$__________$+b^{2};(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+$__________.

$(2)$若长方形$ENDM$的面积为$3$，$AM=3$，$CN=4$，求正方形$EFGH$的边长.