如图$1$，在一个长为$2a$，宽为$2b$的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成$4$块小长方形，然后按图$2$的形状拼成一个正方形．

$(1)$图$2$中阴影部分的正方形边长为 ______.
$(2)$请你用两种不同的方法表示图$2$中阴影部分的面积，并用等式表示．
$(3)$如图$3$，点$C$是线段$AB$上的一点，以$AC$，$BC$为边向两边作正方形，面积分别是$S_{1}$和$S_{2}$，设$AB=8$，两正方形的面积和$S_{1}+S_{2}=32$，求图中阴影部分面积．