据图回答问题

$(1)$如图，在四边形$ABCD$中，$∠BAD=α$，$∠BCD=180°-α$，$BD$平分$∠ABC.$
①如图$1$，若$α=90°$，请直接写出$AD$与$CD$之间的数量关系______；
②在图$2$中，①中结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
$(2)$根据$(1)$的解题经验，请解决如下问题：如图$3$，在等腰$\triangle ABC$中，$∠BAC=100°$，$BD$平分$∠ABC$，求证：$BD+AD=BC.$