如图，$\triangle ABC$在边长为$1$的正方形网格中．

$(1)$以点$C$为位似中心，作出$\triangle ABC$的位似图形$\triangle A_{1}B_{1}C$，使其相似比为$1:2$，且$\triangle A_{1}B_{1}C$与$\triangle ABC$位于点$C$的异侧，并表示出点$A_{1}$的坐标；

$(2)$作出$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转$90°$后的图形$\triangle A_{2}B_{2}C$；

$(3)$在$(2)$的条件下求出点$B$经过的路径长．