读图，回答下列小题。

$(1)$①如图$1$，已知正方形$ABCD$的边长为$a$，正方形$FGCH$的边长为$b$，长方形$ABGE$和$EFHD$为阴影部分，则阴影部分的面积是____$($写成平方差的形式$)$；

② 将图$1$中的长方形$ABGE$和$EFHD$剪下来，拼成图$2$所示的长方形，则长方形$AHDE$的面积是___________$($写成多项式相乘的形式$)$；

$(2)$比较图$1$与图$2$的阴影部分的面积，可得乘法公式 __________.
$(3)$利用所得公式计算：$2(1+\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{{{2}^{2}}})(1+\dfrac{1}{{{2}^{4}}})(1+\dfrac{1}{{{2}^{8}}})+\dfrac{1}{{{2}^{14}}}$