如图，从一个边长为$a$的大正方形纸板中，挖出一个边长为$b$的小正方形，将其裁成四个相同的梯形$($如图①$)$，然后拼成一个平行四边形$($如图②$).$

$(1)$图①中阴影部分的面积为____________.
$(2)$图②的面积表示为__________________.
$(3)$这验证了乘法公式_______________________.
$(4)$利用这个公式计算：$2\:018^{2}-2\:017×2\:019.$