阅读理解：下面是小明同学分解因式$ax+ay+bx+by$的方法，首先他将该多项式分为两组得到$(ax+ay)+(bx+by).$然后对各组进行因式分解，得到$a(x+y)+b(x+y)$，结果发现有公因式$(x+y)$，提出后得到$(x+y)(a+b).$
$(1)$小颖同学学得小明同学方法后，她也尝试对多项式$m^{2}+mn+5m+5n$进行因式分解，则她最后提出的公因式是；
$(2)$请同学们也尝试用小明的方法对多项式$a^{2}-b^{2}+2a+2b$进行因式分解；
$(3)$若小强同学将多项式$x^{4}-3x^{3}+x^{2}-6x+k$进行因式分解时发现有公因式$(x-3)$，求$k$的值．