如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于$A(-1,0)$，$B(4,0)$，$C(0,-4)$三点，$P$是直线$BC$下方抛物线上一动点．

$(1)$求这个二次函数的表达式．

$(2)$是否存在点$P$，使$\triangle POC$是以$OC$为底边的等腰三角形？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由．

$(3)$动点$P$运动到什么位置时，$\triangle PBC$的面积最大，求出此时点$P$的坐标和$\triangle PBC$的最大面积．