$(1)$设抛物线解析式为$y=ax^{2}+bx+c$，
把$A$、$B$、$C$三点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 16a+4b+c=0\end{array}\\ c{\rm=-}4\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{matrix}a\text{=}1\\ b\text{=-}3\\ c\text{=-}4\\\end{matrix}\right.$，
$∴$抛物线解析式为$y=x^{2}-3x-4$；
$(2)$作$OC$的垂直平分线$DP$，交$OC$于点$D$，交$BC$下方抛物线于点$P$，如图$1$，

$∴PO=PC$，此时$P$点即为满足条件的点，
$∵C(0,-4)$，
$∴D(0,-2)$，
$∴P$点纵坐标为$-2$，
代入抛物线解析式可得$x^{2}-3x-4=-2$，
解得$x=\dfrac{3\text{-}\sqrt{17}}{2}($小于$0$，舍去$)$或$x=\dfrac{3\text{+}\sqrt{17}}{2}$，
$∴$存在满足条件的$P$点，其坐标为$(\dfrac{3\text{+}\sqrt{17}}{2},-2)$；
$(3)∵$点$P$在抛物线上，
$∴$可设$P(t,t^{2}-3t-4)$，
过$P$作$PE⊥x$轴于点$E$，交直线$BC$于点$F$，如图$2$，

$∵B(4,0)$，$C(0,-4)$，
$∴$直线$BC$解析式为$y=x-4$，
$∴F(t,t-4)$，
$∴PF=(t-4)-(t^{2}-3t-4)=-t^{2}+4t$，
$∴S_{\triangle PBC}=S_{\triangle PFC}+S_{\triangle PFB}=\dfrac{1}{2}PF\boldsymbol{⋅}OE+\dfrac{1}{2}PF\boldsymbol{⋅}BE=\dfrac{1}{2}PF\boldsymbol{⋅}(OE+BE)=\dfrac{1}{2}PF\boldsymbol{⋅}OB=\dfrac{1}{2}(-t^{2}+4t)×4=-2(t-2)^{2}+8$，
$∴$当$t=2$时，$S_{\triangle PBC}$最大值为$8$，此时$t^{2}-3t-4=-6$，
$∴$当$P$点坐标为$(2,-6)$时，$\triangle PBC$的最大面积为$8.$

$(1)$设抛物线解析式为$y=ax^{2}+bx+c$，
把$A$、$B$、$C$三点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 16a+4b+c=0\end{array}\\ c{\rm=-}4\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{matrix}a\text{=}1\\ b\text{=-}3\\ c\text{=-}4\\\end{matrix}\right.$，
$∴$抛物线解析式为$y=x^{2}-3x-4$；
$(2)$作$OC$的垂直平分线$DP$，交$OC$于点$D$，交$BC$下方抛物线于点$P$，如图$1$，

$∴PO=PC$，此时$P$点即为满足条件的点，
$∵C(0,-4)$，
$∴D(0,-2)$，
$∴P$点纵坐标为$-2$，
代入抛物线解析式可得$x^{2}-3x-4=-2$，
解得$x=\dfrac{3\text{-}\sqrt{17}}{2}($小于$0$，舍去$)$或$x=\dfrac{3\text{+}\sqrt{17}}{2}$，
$∴$存在满足条件的$P$点，其坐标为$(\dfrac{3\text{+}\sqrt{17}}{2},-2)$；
$(3)∵$点$P$在抛物线上，
$∴$可设$P(t,t^{2}-3t-4)$，
过$P$作$PE⊥x$轴于点$E$，交直线$BC$于点$F$，如图$2$，

$∵B(4,0)$，$C(0,-4)$，
$∴$直线$BC$解析式为$y=x-4$，
$∴F(t,t-4)$，
$∴PF=(t-4)-(t^{2}-3t-4)=-t^{2}+4t$，
$∴S_{\triangle PBC}=S_{\triangle PFC}+S_{\triangle PFB}=\dfrac{1}{2}PF\boldsymbol{⋅}OE+\dfrac{1}{2}PF\boldsymbol{⋅}BE=\dfrac{1}{2}PF\boldsymbol{⋅}(OE+BE)=\dfrac{1}{2}PF\boldsymbol{⋅}OB=\dfrac{1}{2}(-t^{2}+4t)×4=-2(t-2)^{2}+8$，
$∴$当$t=2$时，$S_{\triangle PBC}$最大值为$8$，此时$t^{2}-3t-4=-6$，
$∴$当$P$点坐标为$(2,-6)$时，$\triangle PBC$的最大面积为$8.$