B

解：设过点$P$平行直线$y_{1}$的解析式为$y=x+b$，
当直线$y=x+3$与抛物线只有一个交点时，点$P$到直线$y_{1}$的距离最小，
由$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x^{2}+2x\\ y=x+b\end{cases}$，消去$y$得到：$x^{2}-2x+2b=0$，
当$\triangle=0$时，$4-8b=0$，
$∴b=\dfrac{1}{2}$，
$∴$直线的解析式为$y=x+\dfrac{1}{2}$，
如图设直线$y_{1}$交$x$轴于$A$，交$y$轴于$B$，直线$y=x+\dfrac{1}{2}$交$x$轴于$C$，作$CD⊥AB$于$D$，$PE⊥AB$于$E$，则$A(-3,0)$，$B(0,3)$，$C(-\dfrac{1}{2},0)$
$∴OA=OB=3$，$OC=\dfrac{1}{2}$，$AC=\dfrac{5}{2}$，
$∴∠DAC=45°$，
$∴CD=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$，
$∵AB/\!/PC$，$CD⊥AB$，$PE⊥AB$，
$∴PE=CD=\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$，
故选$B.$