$(1)$若$2x+y=4$，$2x-y=1$，则$4x^{2}-y^{2}=$_______.

$(2)$对于实数$a$、$b$，定义运算“$*$”：$a*b=\left\{\:\:\begin{array}{l}a{}^{2}-ab(a\geqslant b)\\ab-a{}^{2}(a< b)\end{array}\right.$，例如$4*2$，因为$4>2$，所以$4*2=4^{2}-4×2=8.$若$x_{1}$、$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-5x+6=0$的两个根，则$x_{1}*x_{2}=$_______ .

$(3)$在$-3$、$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$这六个数中，随机选取一个数，记为$a$，则使得关于$x$的一次函数$y=ax-3$的图象经过第一、三象限，且使得关于$x$的方程$\dfrac{2a-3}{x-1}-1=\dfrac{1}{1-x}$有整数解的概率为_______ .

$(4)$如图，矩形$OABC$的边$OA$，$OC$分别在$x$轴、$y$轴上，点$B$在第一象限，点$D$在边$BC$上，且$∠AOD=30°$，四边形$OA'B'D$与四边形$OABD$关于直线$OD$对称$($点$A'$和$A$，$B'$和$B$分别对应$).$若$AB=1$，反比例函数$y=$$(k≠0)$的图象恰好经过点$A'$，$B$，则$k$的值为_______ .

$(5)$如图，在矩形$ABCD$中，$AB=2$，$BC=4$，$⊙D$的半径为$1.$现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心$O$重合，绕着$O$点转动三角板，使它的一条直角边与$⊙D$切于点$H$，此时两直角边与$AD$交于$E$，$F$两点，则$\tan∠EFO$的值为_______ .