如图所示，在$\triangle OAB$中，点$B$的坐标是$(0,4)$，点$A$的坐标是$(3,1).$
$(1)$画出$\triangle OAB$向下平移$4$个单位长度、再向左平移$2$个单位长度后的$\triangle O_{1}A_{1}B_{1.}$
$(2)$画出$\triangle OAB$绕点$O$逆时针旋转$90°$后的$\triangle OA_{2}B_{2}$，并求出点$A$旋转到$A_{2}$所经过的路径长$($结果保留$π).$