已知：正方形$ABCD.$
$(1)$如图$1$，点$E$、点$F$分别在边$AB$和$AD$上，且$AE=AF.$此时，线段$BE$、$DF$的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．
$(2)$如图$2$，等腰直角三角形$FAE$绕直角顶点$A$顺时针旋转$∠α$，当$0°< α< 90°$时，连接$BE$、$DF$，此时$(1)$中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
$(3)$如图$3$，等腰直角三角形$FAE$绕直角顶点$A$顺时针旋转$∠α$，当$a=90°$时，连接$BE$、$DF$，猜想沟$AE$与$AD$满足什么数量关系时，直线$DF$垂直平分$BE.$请直接写出结论．
$(4)$如图$4$，等腰直角三角形$FAE$绕直角顶点$A$顺时针旋转$∠α$，当$90°< α< 180°$时，连接$BD$、$DE$、$EF$、$FB$得到四边形$BDEF$，则顺次连接四边形$BDEF$各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．