已知在$\triangle AEF$中，$∠AEF=90°$，$AE=EF$，将$\triangle AEF$如图放置在正方形$ABCD$中，直角顶点$E$恰好落在$BC$边上，在$CD$上截取$CG=BE$，连接$BG$交$AE$于点$H.$

$(1)$探究线段$AE$与$BG$的位置及数量关系并证明$;$

$(2)$求证：四边形$BEFG$是平行四边形$;$

$(3)$若$BG=\dfrac{25}{3}$，$HE=3$，求正方形$ABCD$的边长.