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八年级数学解答题一般
题目

已知在△AEF\triangle AEF中，∠AEF=90°∠AEF=90°，AE=EFAE=EF，将△AEF\triangle AEF如图放置在正方形ABCDABCD中，直角顶点EE恰好落在BCBC边上，在CDCD上截取CG=BECG=BE，连接BGBG交AEAE于点H.H.


(1)(1)探究线段AEAE与BGBG的位置及数量关系并证明;;

(2)(2)求证：四边形BEFGBEFG是平行四边形;;

(3)(3)若BG=253BG=\dfrac{25}{3}，HE=3HE=3，求正方形ABCDABCD的边长.

知识点：勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质章节：第1章 特殊的平行四边形 / 1.3 正方形的性质与判定

答案与解析

答案

解：(1)AE=BG  ,  AE⊥BG(1)AE=BG\;,\;AE{\rm⊥}BG；
理由如下：： ∵∵四边形ABCDABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90∘,AB=BC∴\angle ABC=\angle C=90{}^\circ,AB=BC，
∴∠BAE+∠AEB=90∘∴\angle BAE+\angle AEB=90{}^\circ，
在△ABE\triangle ABE和△BCG\triangle BCG中，{AB=BC∠ABC=∠CBE=CG\begin{cases}AB=BC\\ \angle ABC=\angle C\\ BE=CG\\\end{cases}，
∴△ABE≌△BCG∴\triangle ABE≌\triangle BCG，
∴∠BAE=∠CBG,AE=BG∴\angle BAE=\angle CBG,AE=BG，
∴∠CBG+∠AEB=90∘∴\angle CBG+\angle AEB=90{}^\circ，
∴∠BHE=90∘∴\angle BHE=90{}^\circ，
∴AE⊥BG∴AE\bot BG，
(2)∵∠BHE=∠AEF=90∘(2)∵\angle BHE=\angle AEF=90{}^\circ，
∴BG / ⁣/EF∴BG\:/\!/EF，
又∵AE=EF∵AE=EF，
∴BG=EF∴BG=EF，
∴∴四边形BEFGBEFG是平行四边形；
(3)∵(3)∵，
∴BE2=BE⋅CG=BG⋅GE=253×3=25∴B{{E}^{2}}=BE\cdot CG=BG\cdot GE=\dfrac{25}{3}\times 3=25，
∴BE=5∴BE=5，
∴AB=AE2−BE2=BG2−BE2=203∴AB=\sqrt{A{{E}^{2}}-B{{E}^{2}}}=\sqrt{B{{G}^{2}}-B{{E}^{2}}}=\dfrac{20}{3}，
∴∴正方形ABCDABCD的边长为203.\dfrac{20}{3}.

解析

解：(1)AE=BG  ,  AE⊥BG(1)AE=BG\;,\;AE{\rm⊥}BG；
理由如下：： ∵∵四边形ABCDABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90∘,AB=BC∴\angle ABC=\angle C=90{}^\circ,AB=BC，
∴∠BAE+∠AEB=90∘∴\angle BAE+\angle AEB=90{}^\circ，
在△ABE\triangle ABE和△BCG\triangle BCG中，{AB=BC∠ABC=∠CBE=CG\begin{cases}AB=BC\\ \angle ABC=\angle C\\ BE=CG\\\end{cases}，
∴△ABE≌△BCG∴\triangle ABE≌\triangle BCG，
∴∠BAE=∠CBG,AE=BG∴\angle BAE=\angle CBG,AE=BG，
∴∠CBG+∠AEB=90∘∴\angle CBG+\angle AEB=90{}^\circ，
∴∠BHE=90∘∴\angle BHE=90{}^\circ，
∴AE⊥BG∴AE\bot BG，
(2)∵∠BHE=∠AEF=90∘(2)∵\angle BHE=\angle AEF=90{}^\circ，
∴BG / ⁣/EF∴BG\:/\!/EF，
又∵AE=EF∵AE=EF，
∴BG=EF∴BG=EF，
∴∴四边形BEFGBEFG是平行四边形；
(3)∵(3)∵，
∴BE2=BE⋅CG=BG⋅GE=253×3=25∴B{{E}^{2}}=BE\cdot CG=BG\cdot GE=\dfrac{25}{3}\times 3=25，
∴BE=5∴BE=5，
∴AB=AE2−BE2=BG2−BE2=203∴AB=\sqrt{A{{E}^{2}}-B{{E}^{2}}}=\sqrt{B{{G}^{2}}-B{{E}^{2}}}=\dfrac{20}{3}，
∴∴正方形ABCDABCD的边长为203.\dfrac{20}{3}.

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