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九年级数学解答题一般
题目
已知点 PP为正方形 ABCDABCD的边 ADAD上的一个动点，将△ABP\triangle ABP沿 BPBP翻折至△EBP\triangle EBP位置，BEBE延长线交射线 CDCD于 F.F.

(1)(1)如图11，当点 PP为 ADAD的中点时，求证：AB+DF=BFAB+DF=BF；

(2)(2)如图 22，若 AB=6AB=6，AP=4AP=4，求 EFEF的长；

(3)(3)如图 33，BFBF延长线交射线 ADAD于 GG，PEPE延长线交 BCBC延长线于 HH，QQ为 BCBC延长线上一点，当四边形 PHQGPHQG为菱形时，求∠ABP∠ABP的大小．

知识点：正方形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、翻折变换（折叠问题）章节：第1章 特殊的平行四边形 / 1.3 正方形的性质与判定

答案与解析

答案

证明：(1)(1)连接PFPF，

由题意，PE=PA=PDPE=PA=PD，∠PEF=90∘=∠D∠PEF=90^{\circ}=∠D，
又∵PF=PF∵PF=PF，
∴RtΔPDF≌RtΔPEF∴{R}_{t\Delta PDF}≌{R}_{t\Delta PEF}，
∴DF=EF∴DF=EF，
∴AB+DF=BE+EF=BF∴AB+DF=BE+EF=BF；
解：(2)(2)延长BPBP、CDCD交于点GG，设EF=xEF=x，

∵AB / ⁣/CD∵AB\:/\!/CD，
∴∠G=∠ABP=∠PBF∴∠G=∠ABP=∠PBF，
∴GF=BF=6+x∴GF=BF=6+x，
∵AB / ⁣/CD∵AB\:/\!/CD，
∴ΔABP∽ΔDGP∴\Delta ABP∽\Delta DGP，
∴DGAB=DPAP∴\dfrac{DG}{AB}=\dfrac{DP}{AP}，
∴DG6=24∴\dfrac{DG}{6}=\dfrac{2}{4}，
∴DG=3∴DG=3，
∴DF=GF−DG=3+x∴DF=GF-DG=3+x，
∵PF2=PD2+DF2=PE2+EF2∵P{F}^{2}=P{D}^{2}+D{F}^{2}=P{E}^{2}+E{F}^{2}，
∴22+(3+x)2=x2+4∴{2}^{2}+{\left(3+x\right)}^{2}={x}^{2}+4，
解得：x=12x=\dfrac{1}{2}，
即EFEF的长为12\dfrac{1}{2}；
(3)(3)如图，

∵∵四边形 PHQGPHQG为菱形，
∴PG=PH∴PG=PH，
∵AD / ⁣/BC∵AD\:/\!/BC，
∴∠APB=∠PBH∴∠APB=∠PBH，
∵∠APB=∠BPH∵∠APB=∠BPH，
∴∠PBH=∠BPH∴∠PBH=∠BPH，
∴BH=PH∴BH=PH，
∴PG=BH∴PG=BH，
∴∴四边形PBHGPBHG是平行四边形，
又∵PH⊥BG∵PH⊥BG，
∴∴四边形 PBHGPBHG为菱形，
∴PB=PG∴PB=PG，
∴∠PGB=∠PBG=∠ABP∴∠PGB=∠PBG=∠ABP，
∵∠ABG+∠PGB=90∘∵∠ABG+∠PGB=90^{\circ}，
∴3∠ABP=90∘∴3∠ABP=90^{\circ}，
∴∠ABP=30∘.∴∠ABP=30^{\circ}.

解析

证明：(1)(1)连接PFPF，

由题意，PE=PA=PDPE=PA=PD，∠PEF=90∘=∠D∠PEF=90^{\circ}=∠D，
又∵PF=PF∵PF=PF，
∴RtΔPDF≌RtΔPEF∴{R}_{t\Delta PDF}≌{R}_{t\Delta PEF}，
∴DF=EF∴DF=EF，
∴AB+DF=BE+EF=BF∴AB+DF=BE+EF=BF；
解：(2)(2)延长BPBP、CDCD交于点GG，设EF=xEF=x，

∵AB / ⁣/CD∵AB\:/\!/CD，
∴∠G=∠ABP=∠PBF∴∠G=∠ABP=∠PBF，
∴GF=BF=6+x∴GF=BF=6+x，
∵AB / ⁣/CD∵AB\:/\!/CD，
∴ΔABP∽ΔDGP∴\Delta ABP∽\Delta DGP，
∴DGAB=DPAP∴\dfrac{DG}{AB}=\dfrac{DP}{AP}，
∴DG6=24∴\dfrac{DG}{6}=\dfrac{2}{4}，
∴DG=3∴DG=3，
∴DF=GF−DG=3+x∴DF=GF-DG=3+x，
∵PF2=PD2+DF2=PE2+EF2∵P{F}^{2}=P{D}^{2}+D{F}^{2}=P{E}^{2}+E{F}^{2}，
∴22+(3+x)2=x2+4∴{2}^{2}+{\left(3+x\right)}^{2}={x}^{2}+4，
解得：x=12x=\dfrac{1}{2}，
即EFEF的长为12\dfrac{1}{2}；
(3)(3)如图，

∵∵四边形 PHQGPHQG为菱形，
∴PG=PH∴PG=PH，
∵AD / ⁣/BC∵AD\:/\!/BC，
∴∠APB=∠PBH∴∠APB=∠PBH，
∵∠APB=∠BPH∵∠APB=∠BPH，
∴∠PBH=∠BPH∴∠PBH=∠BPH，
∴BH=PH∴BH=PH，
∴PG=BH∴PG=BH，
∴∴四边形PBHGPBHG是平行四边形，
又∵PH⊥BG∵PH⊥BG，
∴∴四边形 PBHGPBHG为菱形，
∴PB=PG∴PB=PG，
∴∠PGB=∠PBG=∠ABP∴∠PGB=∠PBG=∠ABP，
∵∠ABG+∠PGB=90∘∵∠ABG+∠PGB=90^{\circ}，
∴3∠ABP=90∘∴3∠ABP=90^{\circ}，
∴∠ABP=30∘.∴∠ABP=30^{\circ}.

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