阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题
【阅读材料】
对于多项式$x^{3}-5x^{2}+x+10$，我们把$x=2$代入多项式，发现$x=2$能使多项式的值为$0$，由此可以断定多项式$x^{3}-5x^{2}+x+10$中有因式$(x-2)$，$($注：把$x=a$代入多项式，能使多项式值为$0$，则多项式一定含有因式$(x-a))$，于是我们可以把多项式写成：$x^{3}-5x^{2}+x+10=(x-2)(x^{2}+mx+n)$，分别求出$m$、$n$后代入，就可以把多项式$x^{3}-5x^{2}+x+10$因式分解．
【解决问题】
$(1)$求式子中$m$、$n$的值；
$(2)$以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式$x^{3}+5x^{2}+8x+4.$