意大利文艺复兴时期的著名画家达$\boldsymbol{⋅}$芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理$.$小明用两张全等的纸片①$($左边白色部分$)$和②$($右边黑色部分$)$拼成如图$1$所示的图形，中间的六边形$ABCDEF$刚好可以由两个正方形和两个全等的直角三角形组成$.$已知六边形$ABCDEF$的面积为$28$，$S_{正方形ABGF}$：$S_{正方形CDEG}=4$：$1.$小明将纸片②翻转后拼成如图$2$所示的图形，其中$∠B'A'F'=90°$，求四边形$B'C'E'F'$的面积.