综合与探究
【问题情境】在等边$\triangle ABC$中,$P$是边$AC$上的一个定点,$M$是$BC$上的一个动点,以$PM$为边在$PM$的右侧作等边$\triangle PMN$,连接$CN$.
【特例研究】
$(1)$如图$1$,当点$M$在$BC$边上时,过点$P$作$PH$∥$AB$交$BC$于点$H$.
①此时$\triangle PHC$的形状是______；$PH$与$PC$的数量关系是______.
②试猜想$CP$,$CN$,$CM$之间的数量关系,并说明理由.
【拓展探究】
$(2)$如图$2$,当点$M$在$BC$的延长线上时,$\left(1\right)$中的猜想是否依然成立?请直接写出正确的猜想.