【提出问题】
利用"图形"能够证明"等式",如"完全平方公式"、"平方差公式"都可以用图形进行证明,那么"图形"能否证明"不等式"呢?请完成以下探究性学习内容.
【自主探究】
用直角边分别为$a$和$b$的两个等腰直角三角形进行拼图,由图①得到图②.

$(1)$请你仔细观察图形变化,解决下列问题.
$(i)$图①中两个三角形的面积分别为______和______$,$图②中长方形$ABCD$的面积为______$.($用含$a$,$b$的字母表示）
$(ii)$当$a\neq b$时,比较大小:$\frac{a^2+b^2}{2}$______$ab.($填"$\gt$"或"$\lt ")$
$(iii)$当$a$和$b$满足什么条件时,$\frac{a^2+b^2}{2}$与$ab$相等?甲同学说:我可以通过计算进行说明.乙同学说:我可以通过画图进行说明.请你选择其中一人的方法,进行说明.
【知识应用】
$(2)$已知$m \gt 0$,$n \gt 1$,且$m\left(n-1\right)=9$,利用（1）发现的结论求$m^{2}+n^{2}-2n+1$的最小值.