我们把形如$x+\frac{ab}{x}=a+b(a$,$b$不为零）,且两个解分别为$x_{1}=a$,$x_{2}=b$的方程称为"十字分式方程".
例如$x+\frac{3}{x}=4$为十字分式方程,可化为$x+\frac{1×3}{x}=1+3$,
$\therefore x_{1}=1$,$x_{2}=3$.
再如$x+\frac{8}{x}=-6$为十字分式方程,可化为$x+\frac{(-2)×(-4)}{x}=\left(-2\right)+\left(-4\right)$,
$\therefore x_{1}=-2$,$x_{2}=-4$.
应用上面的结论解答下列问题:
$(1)$若$x+\frac{6}{x}=-5$为十字分式方程,则$x_{1}=$______,$x_{2}=\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$若十字分式方程$x-\frac{5}{x}=-2$的两个解分别为$x_{1}=m$,$x_{2}=n$,求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值.
$(3)$若关于$x$的十字分式方程$x-\frac{2{k}^{2}+3k}{x-2}=-k-1$的两个解分别为$x_{1}$,$x_{2}(k \gt 0$,$x_{1} \gt x_{2})$,求$\frac{{x}_{1}-2}{{x}_{2}+1}$的值.