甲、乙、丙三人打牌.第一局,甲输给了乙和丙,使得乙、丙手中的点数都翻了一番.第二局,甲和乙赢了,从而甲、乙手中的点数翻了一番.最后一局,甲、丙获胜,两人手中的点数翻了一番.这样,甲、乙、丙三人每人都是二赢一输,并且每人手中的点数完全相等,可是甲发现自己输了$100$点.请问:开始时,甲手上有多少点?(每局三人的点数和保持不变）