$\left(1\right)\because$点$A\left(m,2\right)$过反比例函数$y_{2}=\frac{2}{x}$的图象，
则有$2=\frac{2}{m}$，
$\therefore m=1$，
$\therefore$点$A\left(1,2\right)$.
又$\because$正比例函数$y_{1}=kx$，
$\therefore k=2$.
另一个交点和点$A$关于原点对称，另一个交点的坐标为$\left(-1,-2\right)$；
根据图象得，不等式$kx \gt \frac{2}{x}$的解集为$-1 \lt x \lt 0$或$x \gt 1$.
故答案为：$-1 \lt x \lt 0$或$x \gt 1$.

$\left(1\right)\because$点$A\left(m,2\right)$过反比例函数$y_{2}=\frac{2}{x}$的图象，
则有$2=\frac{2}{m}$，
$\therefore m=1$，
$\therefore$点$A\left(1,2\right)$.
又$\because$正比例函数$y_{1}=kx$，
$\therefore k=2$.
另一个交点和点$A$关于原点对称，另一个交点的坐标为$\left(-1,-2\right)$；
根据图象得，不等式$kx \gt \frac{2}{x}$的解集为$-1 \lt x \lt 0$或$x \gt 1$.
故答案为：$-1 \lt x \lt 0$或$x \gt 1$.