如图,已知直线$a:y=x$,直线$b:y=-\frac{1}{2}x$和点$P\left(1,0\right)$,过点$P$作$y$轴的平行线交直线$a$于点$P_{1}$,过点$P_{1}$作$x$轴的平行线交直线$b$于点$P_{2}$,过点$P_{2}$作$y$轴的平行线交直线$a$于点$P_{3}$,过点$P_{3}$作$x$轴的平行线交直线$b$于点$P_{4}$,$\cdots$,按此作法进行下去,则点$P_{2024}$的横坐标为______.