$\because PP_{1}$∥$y$轴，
$\therefore P_{1}$与$P$的横坐标相同，
$\therefore P_{1}(1,1)$，
$\because P_{1}P_{2}$∥$x$轴，
$\therefore P_{2}$的纵坐标$=P_{1}$纵坐标$=1$，
$\because P_{2}$在直线$y=-\frac{1}{2}x$的图象上，
$\therefore 1=-\frac{1}{2}x$，解得$x=-2$，
$\therefore P_{2}(-2,1)$，即$P_{2}$的横坐标为$-2=-2^{1}$，
同理，$P3$的横坐标为$-2^{1}$，
$P_{4}$的横坐标为$4=2^{2}$，
$P_{5}$的横坐标为$2^{2}$，
$P_{6}$的横坐标为$-2^{3}$，
$P_{7}$的横坐标$-2^{3}$，
$P_{8}$的横坐标，$2^{4}$，
$\cdot \cdot \cdot$，
$\therefore P4n$的横坐标为$2^{2n}$，
$\therefore P2024$的横坐标为$2^{1012}$.
故答案为：$2^{1012}$.

根据题意，罗列点的坐标，得到规律，利用规律进行解答即可.

【点评】

本题考查了函数图象之坐标规律问题，罗列点的坐标得到规律是解答本题的关键.

$\because PP_{1}$∥$y$轴，
$\therefore P_{1}$与$P$的横坐标相同，
$\therefore P_{1}(1,1)$，
$\because P_{1}P_{2}$∥$x$轴，
$\therefore P_{2}$的纵坐标$=P_{1}$纵坐标$=1$，
$\because P_{2}$在直线$y=-\frac{1}{2}x$的图象上，
$\therefore 1=-\frac{1}{2}x$，解得$x=-2$，
$\therefore P_{2}(-2,1)$，即$P_{2}$的横坐标为$-2=-2^{1}$，
同理，$P3$的横坐标为$-2^{1}$，
$P_{4}$的横坐标为$4=2^{2}$，
$P_{5}$的横坐标为$2^{2}$，
$P_{6}$的横坐标为$-2^{3}$，
$P_{7}$的横坐标$-2^{3}$，
$P_{8}$的横坐标，$2^{4}$，
$\cdot \cdot \cdot$，
$\therefore P4n$的横坐标为$2^{2n}$，
$\therefore P2024$的横坐标为$2^{1012}$.
故答案为：$2^{1012}$.

根据题意，罗列点的坐标，得到规律，利用规律进行解答即可.

【点评】

本题考查了函数图象之坐标规律问题，罗列点的坐标得到规律是解答本题的关键.