C

连接点$D$和点$E$，如图：

$\because \frac{AB}{AD}=\frac{BF}{AE}=\frac{1}{2}$，$\angle ABF=\angle DAE=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABF$∽$\triangle DAE$，
$\therefore \frac{DE}{AF}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{1}{2}AF+CE=DE+CE$，
延长$DA$至点$D$，使$AD\’=AD$，连接$DE$，则$DE={D\’}E$，
$\therefore DE-CE={D\’}E+CE=m$，
$\therefore$当点$E$为$CD$与$AB$的交点时，$m$取最小值，此时
$m=CD\’=\sqrt{(DD′)^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{(2×3)^{2}+{6}^{2}}=6\sqrt{2}$即$m$的最小值为$6\sqrt{2}$，
故选：$C$.