（1）将$x=2$代入方程$\left(a-1\right)x^{2}+2x+a-1=0$，
$\therefore a=\frac{1}{5}$，
将$a=\frac{1}{5}$代入原方程$-\frac{4}{5}x^{2}+2x-\frac{4}{5}=0$，
设另外一根为$x$，
由根与系数的关系可知：$2x=1$，
$\therefore x=\frac{1}{2}$；
$(2)$当$a\neq 1$时，
由$\Delta =0$可得：
$4-4\left(a-1\right)^{2}=0$，
$\therefore a=2$或$0$，
当$a=2$时，
原方程为：$x^{2}+2x+1=0$，
$\therefore x_{1}=x_{2}=-1$，
当$a=0$时，
原方程为：$-x^{2}+2x-1=0$，
$\therefore x_{1}=x_{2}=1$，
综上所述，$a=2$或$0$时，方程总有两个相等的实数根$x_{1}=x_{2}=-1$或$x_{1}=x_{2}=1$，

（1）将$x=2$代入方程$\left(a-1\right)x^{2}+2x+a-1=0$，
$\therefore a=\frac{1}{5}$，
将$a=\frac{1}{5}$代入原方程$-\frac{4}{5}x^{2}+2x-\frac{4}{5}=0$，
设另外一根为$x$，
由根与系数的关系可知：$2x=1$，
$\therefore x=\frac{1}{2}$；
$(2)$当$a\neq 1$时，
由$\Delta =0$可得：
$4-4\left(a-1\right)^{2}=0$，
$\therefore a=2$或$0$，
当$a=2$时，
原方程为：$x^{2}+2x+1=0$，
$\therefore x_{1}=x_{2}=-1$，
当$a=0$时，
原方程为：$-x^{2}+2x-1=0$，
$\therefore x_{1}=x_{2}=1$，
综上所述，$a=2$或$0$时，方程总有两个相等的实数根$x_{1}=x_{2}=-1$或$x_{1}=x_{2}=1$，