如图,$P$为正方形$ABCD$对角线$AC$上的一点,连接$DP$并延长交$AB$于点$E$,过$P$作$MN\bot DE$分别交$BC$,$AD$于$M$,$N$.

$(1)$如图$1$,求证:$MN=DE$；
$(2)$如图$2$,点$F$与点$C$关于直线$DE$对称,连接$FA$并延长交直线$DE$于点$G$,连接$BG$.
①设$\angle ADE$的度数为$x$,求$\angle DGF$的度数；
②猜想$AF$与$BG$之间的数量关系,并证明.