D

$\because$直线$y=x+a$不经过第二象限，
$\therefore a\leqslant 0$，
当$a=0$时，关于$x$的方程$ax^{2}+2x+1=0$是一元一次方程，解为$x=-\frac{1}{2}$，
当$a \lt 0$时，关于$x$的方程$ax^{2}+2x+1=0$是一元二次方程，
$\because \Delta =2^{2}-4a \gt 0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根.
故选：$D$.