B

作$CD\bot BD$于点$D$，作$AE\bot BD$于点$E$，如图所示，
则$CD$∥$AE$，
$\therefore \triangle BDC$∽$\triangle BEA$，
$\therefore \frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BE}=\frac{2}{6}$，
$\therefore \frac{\frac{2\sqrt{13}}{3}}{BA}=\frac{2}{6}$，
解得$BA=2\sqrt{13}$，
$\therefore AC=BA-BC=2\sqrt{13}-\frac{2\sqrt{13}}{3}=\frac{4\sqrt{13}}{3}$，
故选：$B$.