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八年级数学填空题一般
题目
给定一正方形,其边长等于aa,正方形两组相对的顶点是两个全等菱形的顶点.如果每个菱形的面积等于正方形面积的一半,则两菱形公共部分的面积为______.
知识点：平行四边形的性质;菱形的性质;作图—应用与设计作图章节：未标注

答案与解析

答案

连接OKOK，得OO、KK、EE在同一直线上，OP⊥ABOP\bot AB，且点PP为ABAB中点，

∴BP=12a\therefore BP=\frac{1}{2}a，
由题得，S△OBR=14S菱形S_{\triangle OBR}=\frac{1}{4}S_{菱形}，S△OAB=14S正方形S_{\triangle OAB}=\frac{1}{4}S_{正方形}，
∵S菱形=12S正方形\because S_{菱形}=\frac{1}{2}S_{正方形}，
∴S△OBR=12S△OAB\therefore S_{\triangle OBR}=\frac{1}{2}S_{\triangle OAB}，
∴S△ABR=12S△OAB\therefore S_{\triangle ABR}=\frac{1}{2}S_{\triangle OAB}，
∴AR=OR\therefore AR=OR，AT=PTAT=PT，RT=12OPRT=\frac{1}{2}OP，
∴BT=34a\therefore BT=\frac{3}{4}a，
∴KP:RT=12a\therefore KP:RT=\frac{1}{2}a：34a=2:3\frac{3}{4}a=2:3，
∵RT:OP=1:2\because RT:OP=1:2，
∴KP:OP=1:3\therefore KP:OP=1:3，
∴OK:OP=2:3\therefore OK:OP=2:3，
连接RPRP，
∴S△ORK\therefore S_{\triangle ORK}：S△ORP=2:3S_{\triangle ORP}=2:3，
∵S△OPR=S△APR\because S_{\triangle OPR}=S_{\triangle APR}，
∴S△ORK\therefore S_{\triangle ORK}：S△OAP=2:6=1:3S_{\triangle OAP}=2:6=1:3，
∵S阴影=8S△ORK\because S_{阴影}=8S_{\triangle ORK}，S正方形=8S△OAPS_{正方形}=8S_{\triangle OAP}，
∴S阴影\therefore S_{阴影}：S正方形=1:3S_{正方形}=1:3，
∴\therefore两菱形公共部分的面积为13a2\frac{1}{3}a^{2}.
故答案为：13a2\frac{1}{3}a^{2}.

解析

连接OKOK，得OO、KK、EE在同一直线上，OP⊥ABOP\bot AB，且点PP为ABAB中点，

∴BP=12a\therefore BP=\frac{1}{2}a，
由题得，S△OBR=14S菱形S_{\triangle OBR}=\frac{1}{4}S_{菱形}，S△OAB=14S正方形S_{\triangle OAB}=\frac{1}{4}S_{正方形}，
∵S菱形=12S正方形\because S_{菱形}=\frac{1}{2}S_{正方形}，
∴S△OBR=12S△OAB\therefore S_{\triangle OBR}=\frac{1}{2}S_{\triangle OAB}，
∴S△ABR=12S△OAB\therefore S_{\triangle ABR}=\frac{1}{2}S_{\triangle OAB}，
∴AR=OR\therefore AR=OR，AT=PTAT=PT，RT=12OPRT=\frac{1}{2}OP，
∴BT=34a\therefore BT=\frac{3}{4}a，
∴KP:RT=12a\therefore KP:RT=\frac{1}{2}a：34a=2:3\frac{3}{4}a=2:3，
∵RT:OP=1:2\because RT:OP=1:2，
∴KP:OP=1:3\therefore KP:OP=1:3，
∴OK:OP=2:3\therefore OK:OP=2:3，
连接RPRP，
∴S△ORK\therefore S_{\triangle ORK}：S△ORP=2:3S_{\triangle ORP}=2:3，
∵S△OPR=S△APR\because S_{\triangle OPR}=S_{\triangle APR}，
∴S△ORK\therefore S_{\triangle ORK}：S△OAP=2:6=1:3S_{\triangle OAP}=2:6=1:3，
∵S阴影=8S△ORK\because S_{阴影}=8S_{\triangle ORK}，S正方形=8S△OAPS_{正方形}=8S_{\triangle OAP}，
∴S阴影\therefore S_{阴影}：S正方形=1:3S_{正方形}=1:3，
∴\therefore两菱形公共部分的面积为13a2\frac{1}{3}a^{2}.
故答案为：13a2\frac{1}{3}a^{2}.

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