$(1)$用数学的眼光观察
如图①,在四边形$ABCD$中,$AD=BC$,$P$是对角线$BD$的中点,$M$是$AB$的中点,$N$是$DC$的中点.求证:$\angle PMN=\angle PNM$.
$(2)$用数学的思维思考
如图②,延长图①中的线段$AD$交$MN$的延长线于点$E$,延长线段$BC$交$MN$的延长线于点$F$.求证:$\angle AEM=\angle F$.
$(3)$用数学的语言表达
如图③,在$\triangle ABC$中,$AC \lt AB$,点$D$在$AC$上,$AD=BC$,$M$是$AB$的中点,$N$是$DC$的中点,连接$MN$并延长,与$BC$的延长线交于点$G$,连接$GD$.若$\angle ANM=60^{\circ}$,试判断$\triangle CGD$的形状,并进行证明.