【设计实验】$A$、酸溶液能使紫色石蕊溶液变红，碱溶液能使紫色石蕊溶液变蓝，现象不同，可以鉴别，故$A$不符合题意；
$B$、铜和酸溶液、碱溶液都不能反应，都无明显现象，现象相同，不能鉴别，故$B$符合题意；
$C$、氯化钠溶液和酸溶液、碱溶液都不能反应，都无明显现象，现象相同，不能鉴别，故$C$符合题意；
$D$、碳酸钠溶液与酸反应有二氧化碳生成，氢氧化钠与碳酸钠不反应，氢氧化钙与碳酸钠反应能生成碳酸钙沉淀和氢氧化钠，现象不同，可以鉴别，故$D$不符合题意；
故选：$BC$；
【获得结论】镁能与硫酸反应生成硫酸镁和氢气，产生气泡，硫酸能与氯化钡反应生成硫酸钡沉淀和盐酸，产生白色沉淀，碳酸钠能与硫酸反应生成硫酸钠、二氧化碳和水，产生气泡，故$1$号试管中的溶质是$H_{2}SO_{4}$；
【讨论质疑】由于氢氧化钙和碳酸钠反应生成碳酸钙沉淀和氢氧化钠，但加入碳酸钠时没有明显现象，则说明$2$号试管为氢氧化钠，氢氧化钠溶液变质生成了碳酸钠，碳酸钠与氯化钡反应产生白色沉淀，所以实验二的$2$号试管中会产生白色沉淀；
探究三：（1）实验二的$1$号试管中反应为氯化钡和硫酸反应生成硫酸钡沉淀和盐酸，实验四的$1$号试管中反应为碳酸钠和硫酸反应生成硫酸钠、二氧化碳和水，将实验二和实验四的$1$号试管中反应后的上层清液倒入烧杯中，发现有白色沉淀产生，则发生的反应为氯化钡和硫酸钠反应生成硫酸钡和氯化钠，说明实验二的$1$号试管中氯化钡过量，硫酸与氯化钡反应生成硫酸钡沉淀和盐酸，则原实验二中$1$号试管反应后的溶液中溶质是$HCl$、$BaCl_{2}$；
$(2)$实验二中$2$号试管的反应为氯化钡和碳酸钠反应生成碳酸钡沉淀和氯化钠，实验四中$2$号试管没有发生化学反应，其中的溶质含有碳酸钠，可能还有氢氧化钠，则烧杯中有钠离子、氯离子、碳酸根离子，可能还有氢氧根离子，加入后有气泡产生，则发生氢离子和碳酸根离子结合生成水和二氧化碳，氢氧根离子会先与氢离子结合生成水分子，则反应后无氢氧根离子，硫酸根离子和钡离子结合生成硫酸钡或碳酸根离子和钡离子结合生成碳酸钡都可能导致沉淀明显增加，则不确定钡离子、硫酸根离子、碳酸根离子混合后是否存在，混合后一定有钠离子、氯离子，可能有氢离子、钡离子、硫酸根离子和碳酸根离子，步骤二过滤后，步骤三向滤渣中加入过量的稀硝酸，发现沉淀部分溶解并有气泡产生，则说明沉淀有碳酸钡，因为酸能与碳酸钡反应，所以反应后的溶液中没有氢离子，步骤四向滤液加入$Na_{2}CO_{3}$溶液无明显现象，说明滤液中不含钡离子，则混合后烧杯中一定有钠离子、氯离子，可能有硫酸根离子和碳酸根离子，则混合后烧杯中溶液的溶质一定有$NaCl$，可能有碳酸钠和硫酸钠，则设计实验确定硫酸钠和碳酸钠是否存在即可，碳酸钠能与硝酸反应生成二氧化碳，硫酸钠能与硝酸钡反应生成硫酸钡沉淀，则可设计实验为另取少量滤液于试管中，加入过量的稀硝酸，若有气泡产生，则滤液中有碳酸钠，再加入硝酸钡溶液，有白色沉淀生成，则滤液中还有硫酸钠。
故答案为：【设计实验】$BC$；
【获得结论】$H_{2}SO_{4}$；
【讨论质疑】氢氧化钠溶液变质生成了碳酸钠，碳酸钠与氯化钡反应产生白色沉淀；
探究三：$\left(1\right)HCl$、$BaCl_{2}$；
$(2)NaCl$；另取少量滤液于试管中，加入过量的稀硝酸，若有气泡产生，则滤液中有碳酸钠，再加入硝酸钡溶液，有白色沉淀生成，则滤液中还有硫酸钠。

【设计实验】$A$、酸溶液能使紫色石蕊溶液变红，碱溶液能使紫色石蕊溶液变蓝，现象不同，可以鉴别，故$A$不符合题意；
$B$、铜和酸溶液、碱溶液都不能反应，都无明显现象，现象相同，不能鉴别，故$B$符合题意；
$C$、氯化钠溶液和酸溶液、碱溶液都不能反应，都无明显现象，现象相同，不能鉴别，故$C$符合题意；
$D$、碳酸钠溶液与酸反应有二氧化碳生成，氢氧化钠与碳酸钠不反应，氢氧化钙与碳酸钠反应能生成碳酸钙沉淀和氢氧化钠，现象不同，可以鉴别，故$D$不符合题意；
故选：$BC$；
【获得结论】镁能与硫酸反应生成硫酸镁和氢气，产生气泡，硫酸能与氯化钡反应生成硫酸钡沉淀和盐酸，产生白色沉淀，碳酸钠能与硫酸反应生成硫酸钠、二氧化碳和水，产生气泡，故$1$号试管中的溶质是$H_{2}SO_{4}$；
【讨论质疑】由于氢氧化钙和碳酸钠反应生成碳酸钙沉淀和氢氧化钠，但加入碳酸钠时没有明显现象，则说明$2$号试管为氢氧化钠，氢氧化钠溶液变质生成了碳酸钠，碳酸钠与氯化钡反应产生白色沉淀，所以实验二的$2$号试管中会产生白色沉淀；
探究三：（1）实验二的$1$号试管中反应为氯化钡和硫酸反应生成硫酸钡沉淀和盐酸，实验四的$1$号试管中反应为碳酸钠和硫酸反应生成硫酸钠、二氧化碳和水，将实验二和实验四的$1$号试管中反应后的上层清液倒入烧杯中，发现有白色沉淀产生，则发生的反应为氯化钡和硫酸钠反应生成硫酸钡和氯化钠，说明实验二的$1$号试管中氯化钡过量，硫酸与氯化钡反应生成硫酸钡沉淀和盐酸，则原实验二中$1$号试管反应后的溶液中溶质是$HCl$、$BaCl_{2}$；
$(2)$实验二中$2$号试管的反应为氯化钡和碳酸钠反应生成碳酸钡沉淀和氯化钠，实验四中$2$号试管没有发生化学反应，其中的溶质含有碳酸钠，可能还有氢氧化钠，则烧杯中有钠离子、氯离子、碳酸根离子，可能还有氢氧根离子，加入后有气泡产生，则发生氢离子和碳酸根离子结合生成水和二氧化碳，氢氧根离子会先与氢离子结合生成水分子，则反应后无氢氧根离子，硫酸根离子和钡离子结合生成硫酸钡或碳酸根离子和钡离子结合生成碳酸钡都可能导致沉淀明显增加，则不确定钡离子、硫酸根离子、碳酸根离子混合后是否存在，混合后一定有钠离子、氯离子，可能有氢离子、钡离子、硫酸根离子和碳酸根离子，步骤二过滤后，步骤三向滤渣中加入过量的稀硝酸，发现沉淀部分溶解并有气泡产生，则说明沉淀有碳酸钡，因为酸能与碳酸钡反应，所以反应后的溶液中没有氢离子，步骤四向滤液加入$Na_{2}CO_{3}$溶液无明显现象，说明滤液中不含钡离子，则混合后烧杯中一定有钠离子、氯离子，可能有硫酸根离子和碳酸根离子，则混合后烧杯中溶液的溶质一定有$NaCl$，可能有碳酸钠和硫酸钠，则设计实验确定硫酸钠和碳酸钠是否存在即可，碳酸钠能与硝酸反应生成二氧化碳，硫酸钠能与硝酸钡反应生成硫酸钡沉淀，则可设计实验为另取少量滤液于试管中，加入过量的稀硝酸，若有气泡产生，则滤液中有碳酸钠，再加入硝酸钡溶液，有白色沉淀生成，则滤液中还有硫酸钠。
故答案为：【设计实验】$BC$；
【获得结论】$H_{2}SO_{4}$；
【讨论质疑】氢氧化钠溶液变质生成了碳酸钠，碳酸钠与氯化钡反应产生白色沉淀；
探究三：$\left(1\right)HCl$、$BaCl_{2}$；
$(2)NaCl$；另取少量滤液于试管中，加入过量的稀硝酸，若有气泡产生，则滤液中有碳酸钠，再加入硝酸钡溶液，有白色沉淀生成，则滤液中还有硫酸钠。