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九年级数学解答题一般
题目
如图,已知在△ABC\triangle ABC中,∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ},点DD在边BCBC上,CE⊥ABCE\bot AB,CF⊥ADCF\bot AD,EE、FF分别是垂足.
(1)(1)求证:AC2=AF⋅ADAC^{2}=AF\cdot AD；
(2)(2)连接EFEF,求证:AE⋅DB=AD⋅EFAE\cdot DB=AD\cdot EF.
知识点：相似三角形的判定与性质章节：图形的变化 / 图形的相似

答案与解析

答案

（1）如图，∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，CF⊥ADCF\bot AD，
∴∠ACD=∠AFC\therefore \angle ACD=\angle AFC，而∠CAD=∠FAC\angle CAD=\angle FAC，
∴△ACD\therefore \triangle ACD∽△AFC\triangle AFC，
∴ACAF=ADAC\therefore \frac{AC}{AF}=\frac{AD}{AC}，
∴AC2=AF⋅AD\therefore AC^{2}=AF\cdot AD.
(2)(2)如图，∵CE⊥AB\because CE\bot AB，CF⊥ADCF\bot AD，
∴∠AEC=∠AFC=90∘\therefore \angle AEC=\angle AFC=90^{\circ}，
∴A\therefore A、EE、FF、CC四点共圆，
∴∠AFE=∠ACE\therefore \angle AFE=\angle ACE；而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B\angle ACE+\angle CAE=\angle CAE+\angle B，
∴∠ACE=∠B\therefore \angle ACE=\angle B，∠AFE=∠B\angle AFE=\angle B；
∵∠FAE=∠BAD\because \angle FAE=\angle BAD，
∴△AEF\therefore \triangle AEF∽△ADB\triangle ADB，
∴AE:AD=BD:EF\therefore AE:AD=BD:EF，
∴AE⋅DB=AD⋅EF\therefore AE\cdot DB=AD\cdot EF.

解析

（1）如图，∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，CF⊥ADCF\bot AD，
∴∠ACD=∠AFC\therefore \angle ACD=\angle AFC，而∠CAD=∠FAC\angle CAD=\angle FAC，
∴△ACD\therefore \triangle ACD∽△AFC\triangle AFC，
∴ACAF=ADAC\therefore \frac{AC}{AF}=\frac{AD}{AC}，
∴AC2=AF⋅AD\therefore AC^{2}=AF\cdot AD.
(2)(2)如图，∵CE⊥AB\because CE\bot AB，CF⊥ADCF\bot AD，
∴∠AEC=∠AFC=90∘\therefore \angle AEC=\angle AFC=90^{\circ}，
∴A\therefore A、EE、FF、CC四点共圆，
∴∠AFE=∠ACE\therefore \angle AFE=\angle ACE；而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B\angle ACE+\angle CAE=\angle CAE+\angle B，
∴∠ACE=∠B\therefore \angle ACE=\angle B，∠AFE=∠B\angle AFE=\angle B；
∵∠FAE=∠BAD\because \angle FAE=\angle BAD，
∴△AEF\therefore \triangle AEF∽△ADB\triangle ADB，
∴AE:AD=BD:EF\therefore AE:AD=BD:EF，
∴AE⋅DB=AD⋅EF\therefore AE\cdot DB=AD\cdot EF.

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