连接$BC$，$BF$，$OF$，延长$CD$交$\odot O$于$M$，过点$F$作$FK\bot AB$于$K$，如图所示：

$\because \odot O$的直径为$6$，$BE=2$，
$\therefore OF=OA=3$，$BE=AB-BE=4$，
$\because CF$是$\angle ACD$的平分线，
$\therefore \angle 1=\angle 2=\angle ABF$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$CD\bot AB$，
$\therefore \widehat {BC}=\widehat {BM}$，
$\therefore \angle CFB=\angle BCM$，
$\therefore \angle BCE=\angle BCM+\angle 2=\angle CFB+\angle ABF$，
又$\because \angle BEC=\angle CFB+\angle ABF$，
$\therefore \angle BCE=\angle BEC$，
$\because \angle BAF=\angle BCE$，$\angle AEF=\angle BEC$，
$\therefore \angle BAF=\angle AEF$，
$\therefore AF=EF$，
$\because FK\bot AB$，$AE=4$，
$\therefore AK=EK=2$，
$\therefore OK=OA-AK=1$，
在$Rt\triangle OKF$中，由勾股定理得：$FK=\sqrt{O{K}^{2}-O{F}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}=2\sqrt{2}$，
在$Rt\triangle AKF$中，由勾股定理得：$AF=\sqrt{A{K}^{2}+F{K}^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{3}$.
故答案为：$2\sqrt{3}$.

连接$BC$，$BF$，$OF$，延长$CD$交$\odot O$于$M$，过点$F$作$FK\bot AB$于$K$，如图所示：

$\because \odot O$的直径为$6$，$BE=2$，
$\therefore OF=OA=3$，$BE=AB-BE=4$，
$\because CF$是$\angle ACD$的平分线，
$\therefore \angle 1=\angle 2=\angle ABF$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$CD\bot AB$，
$\therefore \widehat {BC}=\widehat {BM}$，
$\therefore \angle CFB=\angle BCM$，
$\therefore \angle BCE=\angle BCM+\angle 2=\angle CFB+\angle ABF$，
又$\because \angle BEC=\angle CFB+\angle ABF$，
$\therefore \angle BCE=\angle BEC$，
$\because \angle BAF=\angle BCE$，$\angle AEF=\angle BEC$，
$\therefore \angle BAF=\angle AEF$，
$\therefore AF=EF$，
$\because FK\bot AB$，$AE=4$，
$\therefore AK=EK=2$，
$\therefore OK=OA-AK=1$，
在$Rt\triangle OKF$中，由勾股定理得：$FK=\sqrt{O{K}^{2}-O{F}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}=2\sqrt{2}$，
在$Rt\triangle AKF$中，由勾股定理得：$AF=\sqrt{A{K}^{2}+F{K}^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{3}$.
故答案为：$2\sqrt{3}$.