A

连接$DO$，$EO$，

$\because \odot O$是$\triangle ABC$的内切圆，切点分别为$D$，$E$，$F$，
$\therefore OE\bot AC$，$OD\bot BC$，$CD=CE$，$BD=BF=4$，$AF=AE=6$，
$\therefore AB=AF+BF=6+4=10$，
又$\because \angle C=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$OECD$是矩形，
又$\because EO=DO$，
$\therefore$矩形$OECD$是正方形，
设$EO=x$，
则$EC=CD=x$，
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得：
$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$，
故$\left(x+4\right)^{2}+\left(x+6\right)^{2}=10^{2}$，
解得：$x=2$，
$\therefore BC=6$，$AC=8$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times 6\times 8=24$，
故选：$A$.