C

如图，设$\triangle ABC$的内切圆切三边于点$F$，$H$，$G$，连接$OF$，$OH$，$OG$，
$\therefore$四边形$OHCG$是正方形，
由切线长定理可知：$AF=AG$，
$\because DE$是$\odot O$的切线，
$\therefore MD=MF$，$EM=EG$，

$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$BC=3$，$AC=4$，
$\therefore AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=5$，
$\because \odot O$是$\triangle ABC$的内切圆，
$\therefore$内切圆的半径$=\frac{1}{2}(AC+BC-AB)=1$，
$\therefore CG=1$，
$\therefore AG=AC-CG=4-1=3$，
$\therefore \triangle ADE$的周长$=AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=2AG=6$.
故选：$C$.