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七年级数学解答题一般
题目
点OO为直线MNMN上一点,在直线MNMN同侧作射线OAOA、OBOB,使得∠AOB=90∘\angle AOB=90^{\circ}.

(1)(1)如图11,过点OO作射线OCOC,若OCOC平分∠MOB\angle MOB,且∠AOC=20∘\angle AOC=20^{\circ},求∠BON\angle BON的度数；
(2)(2)如图22,过点OO作射线OCOC、ODOD,若OCOC平分∠AOM\angle AOM,ODOD平分∠AOB\angle AOB,且∠COD=78∘\angle COD=78^{\circ},求∠BON\angle BON的度数；
(3)(3)过点OO作射线OCOC,当OAOA恰好为∠COM\angle COM的平分线时,另作射线ODOD,使得ODOD平分∠AOB\angle AOB,当∠COD=α\angle COD=\alpha时,求∠BON\angle BON的度数（用含α\alpha的代数式表示).
知识点：角的大小比较章节：图形的性质 / 图形认识初步

答案与解析

答案

(1)∵∠AOB=90∘\left(1\right)\because \angle AOB=90^{\circ}，∠AOC=20∘\angle AOC=20^{\circ}，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=90∘−20∘=70∘\therefore \angle BOC=\angle AOB-\angle AOC=90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}，
∵OC\because OC平分∠MOB\angle MOB，
∴∠MOB=2∠BOC=140∘\therefore \angle MOB=2\angle BOC=140^{\circ}，
∴∠BON=180∘−∠MOB=180∘−140∘=40∘\therefore \angle BON=180^{\circ}-\angle MOB=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}；
(2)∵OC(2)\because OC平分∠AOM\angle AOM，ODOD平分∠AOB\angle AOB，
∴∠AOM=2∠AOC\therefore \angle AOM=2\angle AOC，∠AOB=2∠AOD\angle AOB=2\angle AOD，
∴∠MOB=∠AOM+∠AOB\therefore \angle MOB=\angle AOM+\angle AOB
=2(∠AOC+∠AOD)=2\left(\angle AOC+\angle AOD\right)
=2∠COD=2\angle COD.
∵∠COD=78∘\because \angle COD=78^{\circ}，
∴∠MOB=156∘\therefore \angle MOB=156^{\circ}，
∴∠BON=180∘−∠MOB=180∘−156∘=24∘\therefore \angle BON=180^{\circ}-\angle MOB=180^{\circ}-156^{\circ}=24^{\circ}.
(3)(3)①如图，当ODOD在OCOC右侧时，

∵OD\because OD平分∠AOB\angle AOB，∠AOB=90∘\angle AOB=90^{\circ}，
∴∠AOD=12∠AOB=45°\therefore ∠AOD=\frac{1}{2}∠AOB=45°，
∵∠COD=α\because \angle COD=\alpha，
∴∠AOC=∠AOD−∠COD=45∘−α\therefore \angle AOC=\angle AOD-\angle COD=45^{\circ}-\alpha.
∵OA\because OA为∠COM\angle COM的平分线，
∴∠AOM=∠AOC=45∘−α\therefore \angle AOM=\angle AOC=45^{\circ}-\alpha，
∴∠BON=180∘−∠AOM−∠AOB\therefore \angle BON=180^{\circ}-\angle AOM-\angle AOB
=180∘−(45∘−α)−90∘=180^{\circ}-\left(45^{\circ}-\alpha \right)-90^{\circ}
=45∘+α=45^{\circ}+\alpha.
②如图，当ODOD在OCOC左侧时，

∵OD\because OD平分∠AOB\angle AOB，∠AOB=90∘\angle AOB=90^{\circ}，
∴∠AOD=12∠AOB=45°\therefore ∠AOD=\frac{1}{2}∠AOB=45°，
∵∠COD=α\because \angle COD=\alpha，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=45∘+α\therefore \angle AOC=\angle AOD+\angle COD=45^{\circ}+\alpha
∵OA\because OA为∠COM\angle COM的平分线，
∴∠AOM=∠AOC=45∘+α\therefore \angle AOM=\angle AOC=45^{\circ}+\alpha，
∴∠BON=180∘−∠AOM−∠AOB\therefore \angle BON=180^{\circ}-\angle AOM-\angle AOB
=180∘−(45∘+α)−90∘=180^{\circ}-\left(45^{\circ}+\alpha \right)-90^{\circ}
=45∘−α=45^{\circ}-\alpha，
∴∠BON\therefore \angle BON的度数为45∘+α45^{\circ}+\alpha或45∘−α45^{\circ}-\alpha.

解析

(1)∵∠AOB=90∘\left(1\right)\because \angle AOB=90^{\circ}，∠AOC=20∘\angle AOC=20^{\circ}，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=90∘−20∘=70∘\therefore \angle BOC=\angle AOB-\angle AOC=90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}，
∵OC\because OC平分∠MOB\angle MOB，
∴∠MOB=2∠BOC=140∘\therefore \angle MOB=2\angle BOC=140^{\circ}，
∴∠BON=180∘−∠MOB=180∘−140∘=40∘\therefore \angle BON=180^{\circ}-\angle MOB=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}；
(2)∵OC(2)\because OC平分∠AOM\angle AOM，ODOD平分∠AOB\angle AOB，
∴∠AOM=2∠AOC\therefore \angle AOM=2\angle AOC，∠AOB=2∠AOD\angle AOB=2\angle AOD，
∴∠MOB=∠AOM+∠AOB\therefore \angle MOB=\angle AOM+\angle AOB
=2(∠AOC+∠AOD)=2\left(\angle AOC+\angle AOD\right)
=2∠COD=2\angle COD.
∵∠COD=78∘\because \angle COD=78^{\circ}，
∴∠MOB=156∘\therefore \angle MOB=156^{\circ}，
∴∠BON=180∘−∠MOB=180∘−156∘=24∘\therefore \angle BON=180^{\circ}-\angle MOB=180^{\circ}-156^{\circ}=24^{\circ}.
(3)(3)①如图，当ODOD在OCOC右侧时，

∵OD\because OD平分∠AOB\angle AOB，∠AOB=90∘\angle AOB=90^{\circ}，
∴∠AOD=12∠AOB=45°\therefore ∠AOD=\frac{1}{2}∠AOB=45°，
∵∠COD=α\because \angle COD=\alpha，
∴∠AOC=∠AOD−∠COD=45∘−α\therefore \angle AOC=\angle AOD-\angle COD=45^{\circ}-\alpha.
∵OA\because OA为∠COM\angle COM的平分线，
∴∠AOM=∠AOC=45∘−α\therefore \angle AOM=\angle AOC=45^{\circ}-\alpha，
∴∠BON=180∘−∠AOM−∠AOB\therefore \angle BON=180^{\circ}-\angle AOM-\angle AOB
=180∘−(45∘−α)−90∘=180^{\circ}-\left(45^{\circ}-\alpha \right)-90^{\circ}
=45∘+α=45^{\circ}+\alpha.
②如图，当ODOD在OCOC左侧时，

∵OD\because OD平分∠AOB\angle AOB，∠AOB=90∘\angle AOB=90^{\circ}，
∴∠AOD=12∠AOB=45°\therefore ∠AOD=\frac{1}{2}∠AOB=45°，
∵∠COD=α\because \angle COD=\alpha，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=45∘+α\therefore \angle AOC=\angle AOD+\angle COD=45^{\circ}+\alpha
∵OA\because OA为∠COM\angle COM的平分线，
∴∠AOM=∠AOC=45∘+α\therefore \angle AOM=\angle AOC=45^{\circ}+\alpha，
∴∠BON=180∘−∠AOM−∠AOB\therefore \angle BON=180^{\circ}-\angle AOM-\angle AOB
=180∘−(45∘+α)−90∘=180^{\circ}-\left(45^{\circ}+\alpha \right)-90^{\circ}
=45∘−α=45^{\circ}-\alpha，
∴∠BON\therefore \angle BON的度数为45∘+α45^{\circ}+\alpha或45∘−α45^{\circ}-\alpha.

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