$(1)$证明：连接$OF$，如图，

$\because PF=PG$，
$\therefore \angle PFG=\angle PGF$，
$\because \angle BGE=\angle PGF$，
$\therefore \angle PFG=\angle BGE$，
$\because OF=OB$，
$\therefore \angle OFB=\angle OBF$，
$\because CD\bot AB$，
$\therefore \angle BGE+\angle OBF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle PFG+\angle OFB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle PFO=90^{\circ}$，
$\because OF$是$\odot O$半径，
$\therefore PF$为$\odot O$切线；

$(2)$连接$AF$，过点$P$作$PM\bot FG$，垂足为$M$，如图，

$\because AB$是$\odot O$直径，
$\therefore \angle AFB=90^{\circ}$，
$\therefore AB^{2}=AF^{2}+BF^{2}$，
$\because OB=10$，
$\therefore AB=20$，
$\because BF=16$，
$\therefore AF=12$，
在$Rt\triangle ABF$中，$\tan B=\frac{3}{4}$，$\cos B=\frac{4}{5}$，
在$Rt\triangle BEG$中，$\frac{GE}{8}=\frac{3}{4}$，$\frac{8}{GB}=\frac{4}{5}$，
$\therefore GE=6$，$GB=10$，
$\because BF=16$，
$\therefore FG=6$，
$\because PM\bot FG$，$PF=PG$，
$\therefore MG=\frac{1}{2}FG=3$，
$\because \angle BGE=\angle PFM$，$\angle PMF=\angle BEG=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle PFM$∽$\triangle BGE$，
$\therefore \frac{FM}{GE}=\frac{PF}{GB}$，即$\frac{3}{6}=\frac{PF}{10}$，
解得：$PF=5$，
$\therefore PF$的长为$5$.

$(1)$证明：连接$OF$，如图，

$\because PF=PG$，
$\therefore \angle PFG=\angle PGF$，
$\because \angle BGE=\angle PGF$，
$\therefore \angle PFG=\angle BGE$，
$\because OF=OB$，
$\therefore \angle OFB=\angle OBF$，
$\because CD\bot AB$，
$\therefore \angle BGE+\angle OBF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle PFG+\angle OFB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle PFO=90^{\circ}$，
$\because OF$是$\odot O$半径，
$\therefore PF$为$\odot O$切线；

$(2)$连接$AF$，过点$P$作$PM\bot FG$，垂足为$M$，如图，

$\because AB$是$\odot O$直径，
$\therefore \angle AFB=90^{\circ}$，
$\therefore AB^{2}=AF^{2}+BF^{2}$，
$\because OB=10$，
$\therefore AB=20$，
$\because BF=16$，
$\therefore AF=12$，
在$Rt\triangle ABF$中，$\tan B=\frac{3}{4}$，$\cos B=\frac{4}{5}$，
在$Rt\triangle BEG$中，$\frac{GE}{8}=\frac{3}{4}$，$\frac{8}{GB}=\frac{4}{5}$，
$\therefore GE=6$，$GB=10$，
$\because BF=16$，
$\therefore FG=6$，
$\because PM\bot FG$，$PF=PG$，
$\therefore MG=\frac{1}{2}FG=3$，
$\because \angle BGE=\angle PFM$，$\angle PMF=\angle BEG=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle PFM$∽$\triangle BGE$，
$\therefore \frac{FM}{GE}=\frac{PF}{GB}$，即$\frac{3}{6}=\frac{PF}{10}$，
解得：$PF=5$，
$\therefore PF$的长为$5$.