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八年级数学解答题一般
题目
20242024年春晚吉祥物"龙辰辰",以龙的十二生肖专属汉字"辰"为名.设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物,突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意.某网店从工厂购进大号、中号两种型号的"龙辰辰".已知每个大号"龙辰辰"进价比中号"龙辰辰"多1515元,22个大号"龙辰辰"和11个中号"龙辰辰"共150150元.
(1)(1)求大号、中号两种型号的"龙辰辰"的进价.
(2)(2)该网点准备购进两种型号的"龙辰辰"共6060个,且大号"龙辰辰"的个数不超过中号的一半.中号"龙辰辰"定价6060元,大号"龙辰辰"的定价比中号多30%30\%.当购进大号"龙辰辰"多少个时,销售总利润最大?最大利润是多少?
知识点：约数与倍数章节：数学竞赛 / 整数问题

答案与解析

答案

（1）设每个中号”龙辰辰“进价xx元，则每个大号“龙辰辰”进价(x+15)\left(x+15\right)元，
根据题意得：2(x+15)+x=1502\left(x+15\right)+x=150，
解得：x=40x=40，
∴x+15=55\therefore x+15=55，
答：每个大号“龙辰辰”进价5555元，每个中号龙辰辰”进价4040元；
(2)(2)设购进大号”龙辰辰“aa个，则中号“龙辰辰“(60−a)\left(60-a\right)个，销售总利润为ww元，
根据题意得：w=(60+60×30%−55)a+(60−40)(60−a)=3a+1200w=\left(60+60\times 30\%-55\right)a+\left(60-40\right)\left(60-a\right)=3a+1200，
∵3>0\because 3 \gt 0，
∴w\therefore w随aa的增大而增大，
∵\because大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半，
∴a⩽12(60−a)\therefore a\leqslant \frac{1}{2}(60-a)，
解得a⩽20a\leqslant 20，
∴\therefore当a=20a=20时，ww有最大值，最大值为12601260，
答：购进大号“龙辰辰“2020个时，销售总利润最大，最大利润为12601260元.

解析

（1）设每个中号”龙辰辰“进价xx元，则每个大号“龙辰辰”进价(x+15)\left(x+15\right)元，
根据题意得：2(x+15)+x=1502\left(x+15\right)+x=150，
解得：x=40x=40，
∴x+15=55\therefore x+15=55，
答：每个大号“龙辰辰”进价5555元，每个中号龙辰辰”进价4040元；
(2)(2)设购进大号”龙辰辰“aa个，则中号“龙辰辰“(60−a)\left(60-a\right)个，销售总利润为ww元，
根据题意得：w=(60+60×30%−55)a+(60−40)(60−a)=3a+1200w=\left(60+60\times 30\%-55\right)a+\left(60-40\right)\left(60-a\right)=3a+1200，
∵3>0\because 3 \gt 0，
∴w\therefore w随aa的增大而增大，
∵\because大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半，
∴a⩽12(60−a)\therefore a\leqslant \frac{1}{2}(60-a)，
解得a⩽20a\leqslant 20，
∴\therefore当a=20a=20时，ww有最大值，最大值为12601260，
答：购进大号“龙辰辰“2020个时，销售总利润最大，最大利润为12601260元.

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