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八年级数学解答题一般
题目
20242024年春晚吉祥物"龙辰辰",以龙的十二生肖专属汉字"辰"为名.设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物,突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意.某商店从工厂购进大号、中号两种型号的"龙辰辰",已知每个大号"龙辰辰"进价比中号"龙辰辰"多1515元,22个大号"龙辰辰"和11个中号"龙辰辰"共150150元.
(1)(1)求大号、中号两种型号的"龙辰辰"的进价.
(2)(2)该商店准备购进两种型号的"龙辰辰"共6060个,且大号"龙辰辰"的个数不超过中号的一半.中号"龙辰辰"定价6060元//个,大号"龙辰辰"的定价7878元//个.当购进大号"龙辰辰"多少个时,销售总利润最大?最大利润是多少?
知识点：约数与倍数章节：数学竞赛 / 整数问题

答案与解析

答案

（1）设大号的“龙辰辰”的进价为aa元，中号的“龙辰辰”的进价为bb元，
由题意可得：{a−b=152a+b=150\left\{\begin{array}{l}{a-b=15}\\{2a+b=150}\end{array}\right.，
解得{a=55b=40\left\{\begin{array}{l}{a=55}\\{b=40}\end{array}\right.，
答：大号的“龙辰辰”的进价为5555元，中号的“龙辰辰”的进价为4040元；
(2)(2)设购买大号的“龙辰辰”xx个，则购买小号的“龙辰辰”(60−x)\left(60-x\right)个，利润为ww元，
由题意可得：w=(78−55)x+(60−40)×(60−x)=3x+1200w=\left(78-55\right)x+\left(60-40\right)\times \left(60-x\right)=3x+1200，
∴w\therefore w随xx的增大而增大，
∵\because大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半，
∴x⩽12(60−x)\therefore x\leqslant \frac{1}{2}(60-x)，
解得x⩽20x\leqslant 20，
∴\therefore当x=20x=20时，ww取得最大值，此时w=1260w=1260，
即当购进大号“龙辰辰”2020个时，销售总利润最大，最大利润是12601260元，

解析

（1）设大号的“龙辰辰”的进价为aa元，中号的“龙辰辰”的进价为bb元，
由题意可得：{a−b=152a+b=150\left\{\begin{array}{l}{a-b=15}\\{2a+b=150}\end{array}\right.，
解得{a=55b=40\left\{\begin{array}{l}{a=55}\\{b=40}\end{array}\right.，
答：大号的“龙辰辰”的进价为5555元，中号的“龙辰辰”的进价为4040元；
(2)(2)设购买大号的“龙辰辰”xx个，则购买小号的“龙辰辰”(60−x)\left(60-x\right)个，利润为ww元，
由题意可得：w=(78−55)x+(60−40)×(60−x)=3x+1200w=\left(78-55\right)x+\left(60-40\right)\times \left(60-x\right)=3x+1200，
∴w\therefore w随xx的增大而增大，
∵\because大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半，
∴x⩽12(60−x)\therefore x\leqslant \frac{1}{2}(60-x)，
解得x⩽20x\leqslant 20，
∴\therefore当x=20x=20时，ww取得最大值，此时w=1260w=1260，
即当购进大号“龙辰辰”2020个时，销售总利润最大，最大利润是12601260元，

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