类比推理是根据一类事物所具有的某种属性,推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法.著名数学家波利亚认为"类比就是一种形似".类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用.
【特例感知】
观察下列等式:$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$.
$(1)$根据上述特征,计算:$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}= \_\_\_\_\_\_.$
【尝试类比】
$(2)$已知一次函数$y=-\frac{m+2}{m}x+\frac{2}{m}(m$为正整数）与$x$轴、$y$轴分别交于$A$,$B$两点,$O$为坐标原点,设$Rt\triangle AOB$的面积为$S_{m}$.
①$S_{2}=$______；
②求$S_{2}+S_{4}+S_{6}+\cdots +S_{2024}$的值.
【类比迁移】
$(3)$计算:$\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+⋯+\frac{1}{1+2+3+⋯+n}= \_\_\_\_\_\_.$