在数学尤其是数论领域中,有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分,或需要略去整数部分只研究它的小数部分,因而引入高斯记号.用$\left[x\right]$表示不超过$x$的最大整数,用$\{x\}$表示$x$的非负纯小数,即$\{x\}=x-\left[x\right]$.
例如:$\left[3.14\right]=3$,$\{3.14\}=3.14-3=0.14$.
$(1)$解方程:$5x+2\left[x\right]=31$.
$(2)$满足$7\{x\}+\left[x\right]=20$的所有$x$的和是多少?