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一个正整数,由$N$个数字组成,若它的第一位数可以被$1$整除,它的前面两位数可以被$2$整除,前三位数可以被$3$整除,$\ldots \ldots$,一直到前$N$位数能被$N$整除,则这样的数叫做"精巧数".如:$246$的第一位数"$2$"可以被$1$整除,前两位数"$24$"可以被$2$整除,"$246$"可以被$3$整除,则$246$是一个"精巧数".
$(1)$请直接写出最小四位数"精巧数"是______；最大的四位"精巧数"是______；
$(2)$若一个三位"精巧数"$\overline{3ab}$各位数字之和为一个完全平方数,请求出所有满足条件的三位"精巧数".