问题$1:\because 2000 \lt 3000$，
$\therefore$该员工缴纳的税额为$2000\times 3\%=60(元)$。
答：该员工缴纳的税额为$60$元；
问题$2:35000-5000-\left(2000+2000+2000\times 2+3000\right)=19000(元)$，
$\because 12000 \lt 19000 \lt 25000$，
$\therefore$该企业技术专家月缴纳的税额为$3000\times 3\%+\left(12000-3000\right)\times 10\%+\left(19000-12000\right)\times 20\%=2390(元)$。
答：该企业技术专家月缴纳的税额为$2390$元；
问题$3$：设该技术专家在该月份捐款的金额为$x$元，
根据题意，得$35000-2390-20\%x=31810$，
解方程，得$x=4000$.
答：该技术专家在该月份捐款的金额为$4000$元.

问题$1:\because 2000 \lt 3000$，
$\therefore$该员工缴纳的税额为$2000\times 3\%=60(元)$。
答：该员工缴纳的税额为$60$元；
问题$2:35000-5000-\left(2000+2000+2000\times 2+3000\right)=19000(元)$，
$\because 12000 \lt 19000 \lt 25000$，
$\therefore$该企业技术专家月缴纳的税额为$3000\times 3\%+\left(12000-3000\right)\times 10\%+\left(19000-12000\right)\times 20\%=2390(元)$。
答：该企业技术专家月缴纳的税额为$2390$元；
问题$3$：设该技术专家在该月份捐款的金额为$x$元，
根据题意，得$35000-2390-20\%x=31810$，
解方程，得$x=4000$.
答：该技术专家在该月份捐款的金额为$4000$元.