B

$\because$在$\triangle ABC$中，$\angle A=90^{\circ}$，$AB=4$，$BD=5$，
$\therefore AD=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3$，
过点$D$作$DE\bot BC$于点$E$，由垂线段最短可知当$P$与$E$重合时$DP$最短，
$\because BD$平分$\angle ABC$交$AC$于$D$，
$\therefore DE=AD=3$，即线段$DP$的最小值为$3$.
故选：$B$.