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九年级数学解答题一般
题目
如图,甲、乙两艘货轮同时从AA港出发,分别向BB,DD两港运送物资,最后到达AA港正东方向的CC港装运新的物资.甲货轮沿AA港的东南方向航行4040海里后到达BB港,再沿北偏东60∘60^{\circ}方向航行一定距离到达CC港.乙货轮沿AA港的北偏东60∘60^{\circ}方向航行一定距离到达DD港,再沿南偏东30∘30^{\circ}方向航行一定距离到达CC港.
((参考数据:2≈1.41\sqrt{2}\approx 1.41,3≈1.73\sqrt{3}\approx 1.73,6≈2.45)\sqrt{6}\approx 2.45)
(1)(1)求AA,CC两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
(2)(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠BB,DD两港的时间相同）,哪艘货轮先到达CC港?请通过计算说明.​
知识点：角的定义章节：未标注

答案与解析

答案

（1）过点BB作BE⊥ACBE\bot AC，垂足为EE，

在Rt△ABERt\triangle ABE中，∠BAE=90∘−45∘=45∘\angle BAE=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}，AB=40AB=40海里，
∴AE=AB⋅cos⁡45∘=40×22=202(\therefore AE=AB\cdot \cos 45^{\circ}=40\times \frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}(海里），
BE=AB⋅sin⁡45∘=40×22=202(BE=AB\cdot \sin 45^{\circ}=40\times \frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}(海里），
在Rt△BCERt\triangle BCE中，∠CBE=60∘\angle CBE=60^{\circ}，
∴CE=BE⋅tan⁡60∘=202×3=206(\therefore CE=BE\cdot \tan 60^{\circ}=20\sqrt{2}\times \sqrt{3}=20\sqrt{6}(海里），
∴AC=AE+CE=202+206≈77.2(海里)\therefore AC=AE+CE=20\sqrt{2}+20\sqrt{6}\approx 77.2(海里)，
∴A\therefore A，CC两港之间的距离约为77.277.2海里；
(2)(2)甲货轮先到达CC港，
理由：如图：

由题意得：∠CDF=30∘\angle CDF=30^{\circ}，DFDF∥AGAG，
∴∠GAD=∠ADF=60∘\therefore \angle GAD=\angle ADF=60^{\circ}，
∴∠ADC=∠ADF+∠CDF=90∘\therefore \angle ADC=\angle ADF+\angle CDF=90^{\circ}，
在Rt△ACDRt\triangle ACD中，∠CAD=90∘−∠GAD=30∘\angle CAD=90^{\circ}-\angle GAD=30^{\circ}，
∴CD=12AC=(102+106)\therefore CD=\frac{1}{2}AC=(10\sqrt{2}+10\sqrt{6})海里，
AD=3CD=(106+302)AD=\sqrt{3}CD=(10\sqrt{6}+30\sqrt{2})海里，
在Rt△BCERt\triangle BCE中，∠CBE=60∘\angle CBE=60^{\circ}，BE=202BE=20\sqrt{2}海里，
∴BC=BEcos60°=20212=402(\therefore BC=\frac{BE}{cos60°}=\frac{20\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=40\sqrt{2}(海里），
∴\therefore甲货轮航行的路程=AB+BC=40+402≈96.4(海里)=AB+BC=40+40\sqrt{2}\approx 96.4(海里)，
乙货轮航行的路程=AD+CD=106+302+102+106=206+402=105.4(海里)=AD+CD=10\sqrt{6}+30\sqrt{2}+10\sqrt{2}+10\sqrt{6}=20\sqrt{6}+40\sqrt{2}=105.4(海里)，
∵96.4\because 96.4海里<105.4\lt 105.4海里，
∴\therefore甲货轮先到达CC港.

解析

（1）过点BB作BE⊥ACBE\bot AC，垂足为EE，

在Rt△ABERt\triangle ABE中，∠BAE=90∘−45∘=45∘\angle BAE=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}，AB=40AB=40海里，
∴AE=AB⋅cos⁡45∘=40×22=202(\therefore AE=AB\cdot \cos 45^{\circ}=40\times \frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}(海里），
BE=AB⋅sin⁡45∘=40×22=202(BE=AB\cdot \sin 45^{\circ}=40\times \frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}(海里），
在Rt△BCERt\triangle BCE中，∠CBE=60∘\angle CBE=60^{\circ}，
∴CE=BE⋅tan⁡60∘=202×3=206(\therefore CE=BE\cdot \tan 60^{\circ}=20\sqrt{2}\times \sqrt{3}=20\sqrt{6}(海里），
∴AC=AE+CE=202+206≈77.2(海里)\therefore AC=AE+CE=20\sqrt{2}+20\sqrt{6}\approx 77.2(海里)，
∴A\therefore A，CC两港之间的距离约为77.277.2海里；
(2)(2)甲货轮先到达CC港，
理由：如图：

由题意得：∠CDF=30∘\angle CDF=30^{\circ}，DFDF∥AGAG，
∴∠GAD=∠ADF=60∘\therefore \angle GAD=\angle ADF=60^{\circ}，
∴∠ADC=∠ADF+∠CDF=90∘\therefore \angle ADC=\angle ADF+\angle CDF=90^{\circ}，
在Rt△ACDRt\triangle ACD中，∠CAD=90∘−∠GAD=30∘\angle CAD=90^{\circ}-\angle GAD=30^{\circ}，
∴CD=12AC=(102+106)\therefore CD=\frac{1}{2}AC=(10\sqrt{2}+10\sqrt{6})海里，
AD=3CD=(106+302)AD=\sqrt{3}CD=(10\sqrt{6}+30\sqrt{2})海里，
在Rt△BCERt\triangle BCE中，∠CBE=60∘\angle CBE=60^{\circ}，BE=202BE=20\sqrt{2}海里，
∴BC=BEcos60°=20212=402(\therefore BC=\frac{BE}{cos60°}=\frac{20\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=40\sqrt{2}(海里），
∴\therefore甲货轮航行的路程=AB+BC=40+402≈96.4(海里)=AB+BC=40+40\sqrt{2}\approx 96.4(海里)，
乙货轮航行的路程=AD+CD=106+302+102+106=206+402=105.4(海里)=AD+CD=10\sqrt{6}+30\sqrt{2}+10\sqrt{2}+10\sqrt{6}=20\sqrt{6}+40\sqrt{2}=105.4(海里)，
∵96.4\because 96.4海里<105.4\lt 105.4海里，
∴\therefore甲货轮先到达CC港.

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