数学活动课上,同学们按下面步骤完成了如图所示的尺规作图.
第一步:用直尺画射线$AM$；
第二步:用圆规在射线$AM$上依次截取$AB=a$,$BC=b$,$CD=c$.

$(1)$用含$a$,$b$,$c$的式子表示线段$AD$的长度是______.
$(2)$老师在以上信息的基础上,添加了下面的条件,并提出了新的问题,现请聪明的你将解答题的过程补充完整.
添加条件:如图,点$P$,$Q$分别是线段$AC$,$CD$的中点,
且$AB=7$,$BC=3$,$CD=4$,
提出问题:求线段$PQ$的长度.

因为$AB=7$,$BC=3$,所以$AC=AB+BC=7+3=10$；
因为点$P$线段$AC$的中点,且$AC=10$,所以$PC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\times 10=5$,
因为点$Q$线段$CD$的中点,且$CD=4$,
所以$QC=\frac{1}{2}$______$=\frac{1}{2}\times \_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$,
所以$PQ=PC-\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_-\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_.$