$\because \triangle ABC$的面积为$20$平方厘米，$BD=2DA$，
$\therefore BD=\frac{2}{3}AB$，
$\because \triangle ABC$和$\triangle BCD$等高，
$\therefore {S}_{△BCD}=\frac{2}{3}{S}_{△ABC}=\frac{2}{3}×20=\frac{40}{3}($平方厘米)。
$\because CE=3EB$，
$\therefore CE=\frac{3}{4}BC$，
$\because \triangle CED$和$\triangle BCD$等高，
$\therefore {S}_{△CED}=\frac{3}{4}{S}_{△BCD}=\frac{3}{4}×\frac{40}{3}=10($平方厘米)。
$\because DF:FC=3:2$，
$\therefore DF=\frac{3}{5}CD$，
$\because \triangle DEF$和$\triangle CED$等高，
$\therefore {S}_{△DEF}=\frac{3}{5}{S}_{△CED}=\frac{3}{5}×10=6($平方厘米），
$\because$点$G$是$DE$的中点，
$\therefore {S}_{△DFG}=\frac{1}{2}{S}_{△DEF}=\frac{1}{2}×6=3$.
故答案为：$3$.

$\because \triangle ABC$的面积为$20$平方厘米，$BD=2DA$，
$\therefore BD=\frac{2}{3}AB$，
$\because \triangle ABC$和$\triangle BCD$等高，
$\therefore {S}_{△BCD}=\frac{2}{3}{S}_{△ABC}=\frac{2}{3}×20=\frac{40}{3}($平方厘米)。
$\because CE=3EB$，
$\therefore CE=\frac{3}{4}BC$，
$\because \triangle CED$和$\triangle BCD$等高，
$\therefore {S}_{△CED}=\frac{3}{4}{S}_{△BCD}=\frac{3}{4}×\frac{40}{3}=10($平方厘米)。
$\because DF:FC=3:2$，
$\therefore DF=\frac{3}{5}CD$，
$\because \triangle DEF$和$\triangle CED$等高，
$\therefore {S}_{△DEF}=\frac{3}{5}{S}_{△CED}=\frac{3}{5}×10=6($平方厘米），
$\because$点$G$是$DE$的中点，
$\therefore {S}_{△DFG}=\frac{1}{2}{S}_{△DEF}=\frac{1}{2}×6=3$.
故答案为：$3$.