如图，连接$BF$，

$\because AD$是等边三角形$ABC$的$BC$边上的高，$AB=6$，
$\therefore BD=CD=3$，$\angle CAD=\angle BAD=30^{\circ}$，
$\because \triangle CEF$是等边三角形，
$\therefore CE=CF$，$\angle ECF=60^{\circ}=\angle ACB$，
$\therefore \angle ACE=\angle BCF$，
在$\triangle ACE$和$\triangle BCF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCE}\\{EC=FC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACE$≌$\triangle BCF\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle CBF=\angle CAE=30^{\circ}$，
$\therefore$点$F$在射线$BF$上运动，
作点$C$关于直线$BF$的对称点${C\’}$，连接${C\’}F$，${C\’}D$，${C\’}B$，
则${C\’}F=CF$，$\triangle BCC\’$是等边三角形，且${C\’}D$是边$BC$上的高，${C\’}D=3\sqrt{3}$，
$\because DF+CF=DF+{C\’}F\geqslant {C\’}D$，
$\therefore DF+CF$长度的最小值是${C\’}D$的长，
$\therefore$线段$DF$长度的最小值是$3\sqrt{3}$，
故答案为：$3\sqrt{3}$.

如图，连接$BF$，

$\because AD$是等边三角形$ABC$的$BC$边上的高，$AB=6$，
$\therefore BD=CD=3$，$\angle CAD=\angle BAD=30^{\circ}$，
$\because \triangle CEF$是等边三角形，
$\therefore CE=CF$，$\angle ECF=60^{\circ}=\angle ACB$，
$\therefore \angle ACE=\angle BCF$，
在$\triangle ACE$和$\triangle BCF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCE}\\{EC=FC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACE$≌$\triangle BCF\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle CBF=\angle CAE=30^{\circ}$，
$\therefore$点$F$在射线$BF$上运动，
作点$C$关于直线$BF$的对称点${C\’}$，连接${C\’}F$，${C\’}D$，${C\’}B$，
则${C\’}F=CF$，$\triangle BCC\’$是等边三角形，且${C\’}D$是边$BC$上的高，${C\’}D=3\sqrt{3}$，
$\because DF+CF=DF+{C\’}F\geqslant {C\’}D$，
$\therefore DF+CF$长度的最小值是${C\’}D$的长，
$\therefore$线段$DF$长度的最小值是$3\sqrt{3}$，
故答案为：$3\sqrt{3}$.