（1）图甲是小东同学在实验操作过程中的情况。他的错误是调节天平时没有将游码移至零刻度处后调节平衡螺母，使天平横梁平衡。
$(2)$小东将平衡螺母移动到某一位置时，分度盘的指针左右摆动幅度相同，此时天平平衡。
$(3)$在向砝码盘中放砝码时，应根据所估计的被测物体的质量，按质量由大到小的顺序增减砝码，当将的砝码加入后，发现指针偏向分度盘的右侧，此时应该取下最小砝码并向右移游码，直至天平平衡。
$(4)$砝码锈蚀或磨损就不能再使用了，如果砝码生锈，则砝码的质量会增大，测得的物体的质量将偏小。
故答案为：（1）调节天平时没有将游码移至零刻度处后调节平衡螺母，使天平横梁平衡；$\left(2\right)$平衡；$\left(3\right)$由大到小；$\left(4\right)$偏小。

（1）图甲是小东同学在实验操作过程中的情况。他的错误是调节天平时没有将游码移至零刻度处后调节平衡螺母，使天平横梁平衡。
$(2)$小东将平衡螺母移动到某一位置时，分度盘的指针左右摆动幅度相同，此时天平平衡。
$(3)$在向砝码盘中放砝码时，应根据所估计的被测物体的质量，按质量由大到小的顺序增减砝码，当将的砝码加入后，发现指针偏向分度盘的右侧，此时应该取下最小砝码并向右移游码，直至天平平衡。
$(4)$砝码锈蚀或磨损就不能再使用了，如果砝码生锈，则砝码的质量会增大，测得的物体的质量将偏小。
故答案为：（1）调节天平时没有将游码移至零刻度处后调节平衡螺母，使天平横梁平衡；$\left(2\right)$平衡；$\left(3\right)$由大到小；$\left(4\right)$偏小。