A

设点$C$到$AB$的距离为$h$，
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，则有$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
$\because AC=9$，$BC=12$，
$\therefore AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=15$，
$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot h$，
$\therefore h=\frac{12×9}{15}=\frac{36}{5}$.
故选：$A$.